微积分学示例

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 1$ 且 $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 4.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2.3

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.2.4.1

将 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2.4.2

从 $0$ 中减去 $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (y) = x - 1$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.9

根据加法法则， $x - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.10

将 $\frac{d}{d y} [x]$ 重写为 $x'$ 。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.11

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.12

合并分数。

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解题步骤 4.12.1

将 $x'$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.12.2

组合 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x'$ 。

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.13

将 $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 4.14

将 $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.15

通过指数相加将 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 4.15.1

移动 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.15.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 4.15.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 6

求解 $x'$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ 。

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

解题步骤 6.2

将 $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.2.2

用 $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

解题步骤 6.3

两边同时乘以 $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.4.1.1

化简 $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.2.1

约去公因数。

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4.1.1.3

约去 ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4.1.1.3.2

重写表达式。

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

解题步骤 6.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d x}{d y}$ 替换 $x'$ 。

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

微积分学 示例

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