微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{x} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

解题步骤 3.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 3.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 3.2.6

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

解题步骤 3.2.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\int \sqrt{x} + 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \sqrt{x} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 5

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int 2 x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 \int x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{2}{7}) x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot 2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x} + 2 x^{2} \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{4}{7} x^{\frac{7}{2}} + C$

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