微积分学示例

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

解题步骤 2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} - \frac{5}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ 。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

解题步骤 3.3

因为 $- \frac{5}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

解题步骤 3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

解题步骤 4.2

重新排序项。

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.3

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{5}{4}$ 。

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.3.2

将 $5$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.4

从 $e^{x} x^{2}$ 中减去 $\frac{5 e^{x}}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $e^{x}$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.4.2

要将 $x^{2} e^{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.4.3

组合 $x^{2} e^{x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.5

化简分子。

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解题步骤 4.5.1

将 $4$ 移到 $x^{2} e^{x}$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.5.2

从 $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从 $4 x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.5.2.2

从 $- 5 e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.5.2.3

从 $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

解题步骤 4.6

要将 $2 e^{x} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 4.7

组合 $2 e^{x} x$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.8

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

解题步骤 4.9

化简分子。

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解题步骤 4.9.1

从 $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.9.1.1

从 $2 e^{x} x \cdot 4$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

解题步骤 4.9.1.2

从 $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

解题步骤 4.9.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

解题步骤 4.9.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

解题步骤 4.9.4

分组因式分解。

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解题步骤 4.9.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 4.9.4.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

解题步骤 4.9.4.1.2

把 $8$ 重写为 $- 2$ 加 $10$

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

解题步骤 4.9.4.1.3

运用分配律。

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

解题步骤 4.9.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.9.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

解题步骤 4.9.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

解题步骤 4.9.4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$

微积分学 示例

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