微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{15} x^{6}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{2}{15}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{15} x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$\frac{2}{15} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{2}{15} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $6$ 和 $\frac{2}{15}$ 。

$\frac{6 \cdot 2}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12}{15} x^{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $\frac{12}{15}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{12 x^{5}}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6

约去 $12$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.1

从 $12 x^{5}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{5})}{15} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 (5)} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 x^{5})}{3 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 8 (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.4.3

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{5}}{5} - 5 x^{4} - 32 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{5}}{5}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{5}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{4}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{5 \cdot 4}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.5

组合 $\frac{20}{5}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{20 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6

约去 $20$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.1

从 $20 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (4 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.4

用 $4 x^{4}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$4 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{4} - 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$4 x^{4} - 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 32 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.4.3

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$f'' (x) = 4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ 。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $4 x^{4} - 20 x^{3} - 96 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $4 x^{4}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x^{2}) - 20 x^{3} - 96 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) - 96 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 96 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $4 x^{2} (x^{2}) + 4 x^{2} (- 5 x)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $4 x^{2} (x^{2} - 5 x) + 4 x^{2} (- 24)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x^{2} - 5 x - 24) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 5$ 。

$- 8, 3$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$4 x^{2} ((x - 8) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 2.6

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $4 x^{2} (x - 8) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 8, - 3$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot {(0)}^{6} - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{2}{15} \cdot 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\frac{2}{15}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - {(0)}^{5} - 8 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 0 - 8 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 8 {(0)}^{4}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $8$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot {(8)}^{6} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $8$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (8) = \frac{2}{15} \cdot 262144 - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

乘以 $\frac{2}{15} \cdot 262144$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

组合 $\frac{2}{15}$ 和 $262144$ 。

$f (8) = \frac{2 \cdot 262144}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $2$ 乘以 $262144$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} - {(8)}^{5} - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.3

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 1 \cdot 32768 - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $32768$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 {(8)}^{4}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 8 \cdot 4096$

解题步骤 3.3.2.1.6

将 $- 8$ 乘以 $4096$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} - 32768 - 32768$

解题步骤 3.3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $- 32768$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} - 32768$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{- 32768}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15} - 32768$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $\frac{- 32768}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} - 32768$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $- 32768$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $\frac{- 32768}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768}{1} \cdot \frac{15}{15}$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 $\frac{- 32768}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$f (8) = \frac{524288}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15} + \frac{- 32768 \cdot 15}{15}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (8) = \frac{524288 - 32768 \cdot 15 - 32768 \cdot 15}{15}$

解题步骤 3.3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $- 32768$ 乘以 $15$ 。

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 32768 \cdot 15}{15}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $- 32768$ 乘以 $15$ 。

$f (8) = \frac{524288 - 491520 - 491520}{15}$

解题步骤 3.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.5.1

从 $524288$ 中减去 $491520$ 。

$f (8) = \frac{32768 - 491520}{15}$

解题步骤 3.3.2.5.2

从 $32768$ 中减去 $491520$ 。

$f (8) = \frac{- 458752}{15}$

解题步骤 3.3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (8) = - \frac{458752}{15}$

解题步骤 3.3.2.6

最终答案为 $- \frac{458752}{15}$ 。

$- \frac{458752}{15}$

解题步骤 3.4

通过将 $8$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 中求得的点为 $(8, - \frac{458752}{15})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(8, - \frac{458752}{15})$

解题步骤 3.5

将 $- 3$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot {(- 3)}^{6} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- 3) = \frac{2}{15} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3) = \frac{2}{3 (5)} \cdot 729 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

从 $729$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

约去公因数。

$f (- 3) = \frac{2}{3 \cdot 5} \cdot (3 \cdot 243) - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.2.4

重写表达式。

$f (- 3) = \frac{2}{5} \cdot 243 - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.3

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $243$ 。

$f (- 3) = \frac{2 \cdot 243}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $243$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} - {(- 3)}^{5} - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.5

对 $- 3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 243$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 {(- 3)}^{4}$

解题步骤 3.5.2.1.7

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 8 \cdot 81$

解题步骤 3.5.2.1.8

将 $- 8$ 乘以 $81$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + 243 - 648$

解题步骤 3.5.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.5.2.2.1

将 $243$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} - 648$

解题步骤 3.5.2.2.2

将 $\frac{243}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243}{1} \cdot \frac{5}{5} - 648$

解题步骤 3.5.2.2.3

将 $\frac{243}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} - 648$

解题步骤 3.5.2.2.4

将 $- 648$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1}$

解题步骤 3.5.2.2.5

将 $\frac{- 648}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648}{1} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 3.5.2.2.6

将 $\frac{- 648}{1}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$f (- 3) = \frac{486}{5} + \frac{243 \cdot 5}{5} + \frac{- 648 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 3) = \frac{486 + 243 \cdot 5 - 648 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.4.1

将 $243$ 乘以 $5$ 。

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 648 \cdot 5}{5}$

解题步骤 3.5.2.4.2

将 $- 648$ 乘以 $5$ 。

$f (- 3) = \frac{486 + 1215 - 3240}{5}$

解题步骤 3.5.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.2.5.1

将 $486$ 和 $1215$ 相加。

$f (- 3) = \frac{1701 - 3240}{5}$

解题步骤 3.5.2.5.2

从 $1701$ 中减去 $3240$ 。

$f (- 3) = \frac{- 1539}{5}$

解题步骤 3.5.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 3) = - \frac{1539}{5}$

解题步骤 3.5.2.6

最终答案为 $- \frac{1539}{5}$ 。

$- \frac{1539}{5}$

解题步骤 3.6

通过将 $- 3$ 代入 $f (x) = \frac{2}{15} x^{6} - x^{5} - 8 x^{4}$ 中求得的点为 $(- 3, - \frac{1539}{5})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 3, - \frac{1539}{5})$

解题步骤 3.7

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (8, - \frac{458752}{15}), (- 3, - \frac{1539}{5})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 3)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3.1) = 4 {(- 3.1)}^{4} - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = 4 \cdot 92.3521 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $92.3521$ 。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 {(- 3.1)}^{3} - 96 {(- 3.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 3.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 - 20 \cdot - 29.791 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $- 29.791$ 。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 {(- 3.1)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

对 $- 3.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 96 \cdot 9.61$

解题步骤 5.2.1.6

将 $- 96$ 乘以 $9.61$ 。

$f'' (- 3.1) = 369.4084 + 595.82 - 922.56$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $369.4084$ 和 $595.82$ 相加。

$f'' (- 3.1) = 965.2284 - 922.56$

解题步骤 5.2.2.2

从 $965.2284$ 中减去 $922.56$ 。

$f'' (- 3.1) = 42.6684$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $42.6684$ 。

$42.6684$

解题步骤 5.3

在 $- 3.1$ 处，二阶导数为 $42.6684$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 3)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 3)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 3, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{3}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{2^{4}}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{16}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 (4)}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{81}{4 \cdot 4}) - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.6.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.7

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.7.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.7.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.9

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{2^{3}}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (- \frac{27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.11

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.11.1

将 $- \frac{27}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 20 (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.11.2

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 (- 5) (\frac{- 27}{8}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.11.3

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.11.4

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + 4 \cdot (- 5 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.11.5

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} - 5 (\frac{- 27}{2}) - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.12

组合 $- 5$ 和 $\frac{- 27}{2}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 5 \cdot - 27}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.13

将 $- 5$ 乘以 $- 27$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

解题步骤 6.2.1.14

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.14.1

对 $- \frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

解题步骤 6.2.1.14.2

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.15

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

解题步骤 6.2.1.16

将 $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

解题步骤 6.2.1.17

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 \frac{9}{2^{2}}$

解题步骤 6.2.1.18

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 96 (\frac{9}{4})$

解题步骤 6.2.1.19

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.19.1

从 $- 96$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 (- 24) (\frac{9}{4})$

解题步骤 6.2.1.19.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} + 4 \cdot (- 24 (\frac{9}{4}))$

解题步骤 6.2.1.19.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 24 \cdot 9$

解题步骤 6.2.1.20

将 $- 24$ 乘以 $9$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} - 216$

解题步骤 6.2.2

求公分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $\frac{135}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135}{2} \cdot \frac{2}{2} - 216$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{135}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 216$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 216$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1}$

解题步骤 6.2.2.4

将 $\frac{- 216}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $\frac{- 216}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{135 \cdot 2}{4} + \frac{- 216 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 135 \cdot 2 - 216 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.4

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $135$ 乘以 $2$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 216 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 216$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{81 + 270 - 864}{4}$

解题步骤 6.2.5

化简表达式。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $81$ 和 $270$ 相加。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{351 - 864}{4}$

解题步骤 6.2.5.2

从 $351$ 中减去 $864$ 。

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 513}{4}$

解题步骤 6.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{513}{4}$

解题步骤 6.2.6

最终答案为 $- \frac{513}{4}$ 。

$- \frac{513}{4}$

解题步骤 6.3

在 $- \frac{3}{2}$ ，二阶导数为 $- 128.25$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 3, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 3, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, 8)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

通过指数相加将 $4$ 乘以 ${(4)}^{4}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1

将 $4$ 乘以 ${(4)}^{4}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (4) = 4 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (4) = 4^{1 + 4} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.1.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (4) = 4^{5} - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f'' (4) = 1024 - 20 {(4)}^{3} - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = 1024 - 20 \cdot 64 - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $64$ 。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 {(4)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 96 \cdot 16$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 96$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 1024 - 1280 - 1536$

解题步骤 7.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

从 $1024$ 中减去 $1280$ 。

$f'' (4) = - 256 - 1536$

解题步骤 7.2.2.2

从 $- 256$ 中减去 $1536$ 。

$f'' (4) = - 1792$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 1792$ 。

$- 1792$

解题步骤 7.3

在 $4$ ，二阶导数为 $- 1792$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(0, 8)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(0, 8)$ 上递减

解题步骤 8

将区间 $(8, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $8.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8.1) = 4 {(8.1)}^{4} - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $8.1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (8.1) = 4 \cdot 4304.6721 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4304.6721$ 。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 {(8.1)}^{3} - 96 {(8.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.3

对 $8.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 20 \cdot 531.441 - 96 {(8.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 20$ 乘以 $531.441$ 。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 {(8.1)}^{2}$

解题步骤 8.2.1.5

对 $8.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 96 \cdot 65.61$

解题步骤 8.2.1.6

将 $- 96$ 乘以 $65.61$ 。

$f'' (8.1) = 17218.6884 - 10628.82 - 6298.56$

解题步骤 8.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $17218.6884$ 中减去 $10628.82$ 。

$f'' (8.1) = 6589.8684 - 6298.56$

解题步骤 8.2.2.2

从 $6589.8684$ 中减去 $6298.56$ 。

$f'' (8.1) = 291.3084$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $291.3084$ 。

$291.3084$

解题步骤 8.3

在 $8.1$ 处，二阶导数为 $291.3084$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(8, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(8, \infty)$ 上递增

解题步骤 9

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$ 。

$(- 3, - \frac{1539}{5}), (8, - \frac{458752}{15})$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例