微积分学示例

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 4

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 6

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

解题步骤 7

由于 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 18$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

解题步骤 8

使 $u_{2} = - 4 x$ 。然后使 $d u_{2} = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = - 4 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 4$

解题步骤 8.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

解题步骤 9.2

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

解题步骤 11

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $18$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.2

约去 $18$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.2.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 13.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 14

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 16.2

使用 $- 4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$

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