微积分学示例

$z = y {(3 + 2 x)}^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (y {(3 + 2 x)}^{4})$

解题步骤 2

$z$ 对 $x$ 的导数为 $z'$ 。

$z'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $y$ 对于 $x$ 是常数，所以 $y {(3 + 2 x)}^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$ 。

$y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = 3 + 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 + 2 x$ 。

$y (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$y (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $3 + 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y (4 {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 移到 $y$ 的左侧。

$4 \cdot y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.6

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 3.3.8

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$z' = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d z}{d x}$ 替换 $z'$ 。

$\frac{d z}{d x} = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

微积分学 示例

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