微积分学示例

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{x + 6}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{x + 2}{x^{2} - 12} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} - 12) x$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x + 2}{x^{2} - 12}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}}{x + 6}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 12}{x^{2} - 12}$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{(x^{2} - 12) x} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(x^{2} - 12) x$ 的因式。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x}{x (x^{2} - 12)} - \frac{x^{2} - 12}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}}{x + 6}$

解题步骤 2

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)} \cdot \frac{1}{x + 6}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12)}$ 乘以 $\frac{1}{x + 6}$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 6} (x + 2) x - (x^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2

将 $- 6$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ 的极限值。

$\frac{(- 6 + 2) \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $- 6$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 4 \cdot - 6 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{24 - ({(- 6)}^{2} - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.2.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{24 - (36 - 12)}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.2.4

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$\frac{24 - 1 \cdot 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.2.5

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$\frac{24 - 24}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $24$ 中减去 $24$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x (x^{2} - 12) (x + 6)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 6$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot lim_{x \to - 6} x^{2} - 12 \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 6$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot (lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

解题步骤 3.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $12$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 6$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot lim_{x \to - 6} x + 6}$

解题步骤 3.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 6$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + lim_{x \to - 6} 6)}$

解题步骤 3.1.3.6

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 6$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to - 6} x \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

解题步骤 3.1.3.7

将 $- 6$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.7.1

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

解题步骤 3.1.3.7.2

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (lim_{x \to - 6} x + 6)}$

解题步骤 3.1.3.7.3

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{- 6 \cdot ({(- 6)}^{2} - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

解题步骤 3.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.8.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 1 \cdot 12) \cdot (- 6 + 6)}$

解题步骤 3.1.3.8.1.2

将 $- 1$ 乘以 $12$ 。

$\frac{0}{- 6 \cdot (36 - 12) \cdot (- 6 + 6)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$\frac{0}{- 6 \cdot 24 \cdot (- 6 + 6)}$

解题步骤 3.1.3.8.3

将 $- 6$ 乘以 $24$ 。

$\frac{0}{- 144 \cdot (- 6 + 6)}$

解题步骤 3.1.3.8.4

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$\frac{0}{- 144 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.8.5

将 $- 144$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.8.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) x - (x^{2} - 12)}{x (x^{2} - 12) (x + 6)} = lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x - (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $(x + 2) x - (x^{2} - 12)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 2) x] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [(x + 2) x]$ 。

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解题步骤 3.3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.3

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{(x + 2) \cdot 1 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.6

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.7

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.8

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{x + 2 + x + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.3.9

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 12)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (x^{2} - 12)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 12]}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4.2

根据加法法则， $x^{2} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 12])}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4.4

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 x + 2 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.5

合并项。

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解题步骤 3.3.5.1

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{0 + 2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.5.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12) (x + 6)]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 12)$ 且 $g (x) = x + 6$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x + 6] + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.7

根据加法法则， $x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} [6]) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.9

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) (1 + 0) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.10

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) \cdot 1 + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.11

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 12)]}$

解题步骤 3.3.12

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 12$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 12] + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.13

根据加法法则， $x^{2} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 12]) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.15

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.16

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1)}$

解题步骤 3.3.22

将 $x^{2} - 12$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (2 x^{2} + x^{2} - 12)}$

解题步骤 3.3.23

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x (x^{2} - 12) + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

解题步骤 3.3.24

化简。

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解题步骤 3.3.24.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2} - 12)}$

解题步骤 3.3.24.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + (x + 6) (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.3

运用分配律。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + (x + 6) \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.4

运用分配律。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5

合并项。

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解题步骤 3.3.24.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.24.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.24.5.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{1 + 2} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} + x \cdot - 12 + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.2

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 \cdot x + x (3 x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 (x^{1} x^{2}) + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{1 + 2} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 6 (3 x^{2}) + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.6

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} + x \cdot - 12 + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.7

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 \cdot x + 6 \cdot - 12}$

解题步骤 3.3.24.5.8

将 $6$ 乘以 $- 12$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{x^{3} - 12 x + 3 x^{3} + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

解题步骤 3.3.24.5.9

将 $x^{3}$ 和 $3 x^{3}$ 相加。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} - 12 x + 18 x^{2} - 12 x - 72}$

解题步骤 3.3.24.5.10

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{4 x^{3} + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 18 x^{2} - 24 x - 72}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) - 24 x - 72}$

解题步骤 3.4.2.3

从 $2 (2 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) - 24 x - 72}$

解题步骤 3.4.2.4

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x) - 72}$

解题步骤 3.4.2.5

从 $2 (2 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) - 72}$

解题步骤 3.4.2.6

从 $- 72$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 \cdot - 36}$

解题步骤 3.4.2.7

从 $2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x) + 2 (- 36)$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

解题步骤 3.4.2.8

约去公因数。

$lim_{x \to - 6} \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36)}$

解题步骤 3.4.2.9

重写表达式。

$lim_{x \to - 6} \frac{1}{2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $- 6$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 6} 1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

解题步骤 4.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 6$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + 9 x^{2} - 12 x - 36}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $- 6$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{lim_{x \to - 6} 2 x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 lim_{x \to - 6} x^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.5

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + lim_{x \to - 6} 9 x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.6

因为项 $9$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 lim_{x \to - 6} x^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - lim_{x \to - 6} 12 x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.8

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - lim_{x \to - 6} 36}$

解题步骤 4.9

计算 $36$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 6$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2 {(lim_{x \to - 6} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

解题步骤 5

将 $- 6$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(lim_{x \to - 6} x)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

解题步骤 5.2

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 lim_{x \to - 6} x - 1 \cdot 36}$

解题步骤 5.3

将 $- 6$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2 {(- 6)}^{3} + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2 \cdot - 216 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6.1.2

将 $2$ 乘以 $- 216$ 。

$\frac{1}{- 432 + 9 {(- 6)}^{2} - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6.1.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{- 432 + 9 \cdot 36 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6.1.4

将 $9$ 乘以 $36$ 。

$\frac{1}{- 432 + 324 - 12 \cdot - 6 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6.1.5

将 $- 12$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 1 \cdot 36}$

解题步骤 6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\frac{1}{- 432 + 324 + 72 - 36}$

解题步骤 6.1.7

将 $- 432$ 和 $324$ 相加。

$\frac{1}{- 108 + 72 - 36}$

解题步骤 6.1.8

将 $- 108$ 和 $72$ 相加。

$\frac{1}{- 36 - 36}$

解题步骤 6.1.9

从 $- 36$ 中减去 $36$ 。

$\frac{1}{- 72}$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{72}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{72}$

小数形式：

$- 0.013\overline{8}$

微积分学 示例

微积分学示例