微积分学示例

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

解题步骤 1

根据加法法则， $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ 。

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = arctanh (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.2

$arctanh (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 。

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.4

组合 $x$ 和 $\frac{1}{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.5

将 $arctanh (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.6

要将 $arctanh (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ 。

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ 。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2.3

使用 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.3.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.8

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.9

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.11

化简分子。

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解题步骤 3.11.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.11.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.12

将负号移到分数的前面。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

解题步骤 3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

解题步骤 3.14

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

解题步骤 3.15

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

解题步骤 3.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

解题步骤 3.17

组合 $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

解题步骤 3.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.19

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.20

约去公因数。

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解题步骤 3.20.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 3.20.2

约去公因数。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.20.3

重写表达式。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.21

将负号移到分数的前面。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.22

将 $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.23

通过指数相加将 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.23.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.23.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 3.23.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.23.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

解题步骤 3.24

化简 ${(1 - x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $arctanh (x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.2.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.2.4

将 $arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ 和 $0$ 相加。

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4

化简分子。

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解题步骤 4.4.1

从 $- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ 中分解出因数 $arctanh (x)$ 。

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解题步骤 4.4.1.1

从 $- x^{2} arctanh (x)$ 中分解出因数 $arctanh (x)$ 。

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.1.2

乘以 $1$ 。

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.1.3

从 $arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $arctanh (x)$ 。

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.3

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

解题步骤 4.5

化简分母。

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解题步骤 4.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.5.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 4.5.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.6

约去 $1 + x$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

约去公因数。

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 4.6.2

重写表达式。

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

解题步骤 4.7

约去 $1 - x$ 的公因数。

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解题步骤 4.7.1

约去公因数。

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

解题步骤 4.7.2

用 $arctanh (x)$ 除以 $1$ 。

$arctanh (x)$

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