微积分学示例

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.6

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x$ 。

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.7

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.7.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.7.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.7.2.2

约去公因数。

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.7.2.3

重写表达式。

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.2.7.2.4

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 3 x - 36$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 36$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2} - 3 x - 36$ 中分解出因数 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 3 x - 36 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 36 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 12) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 12) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $3 (x^{2} - x) + 3 (- 12)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - x - 12) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 12$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 4) (x + 3) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 (x - 4) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 3$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = 4$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - \frac{3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.3.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (8)) - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.3.3

约去公因数。

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.3.4

重写表达式。

$64 - 3 \cdot 8 - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.4

将 $- 3$ 乘以 $8$ 。

$64 - 24 - 36 \cdot 4$

解题步骤 4.1.2.1.5

将 $- 36$ 乘以 $4$ 。

$64 - 24 - 144$

解题步骤 4.1.2.2

通过减去各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

从 $64$ 中减去 $24$ 。

$40 - 144$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $40$ 中减去 $144$ 。

$- 104$

解题步骤 4.2

在 $x = - 3$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

${(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.3

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot 9$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.3.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 27 - 9 (\frac{3}{2}) - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

组合 $- 9$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$- 27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$- 27 + \frac{- 27}{2} - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$- 27 - \frac{27}{2} - 36 \cdot - 3$

解题步骤 4.2.2.1.5

将 $- 36$ 乘以 $- 3$ 。

$- 27 - \frac{27}{2} + 108$

解题步骤 4.2.2.2

求公分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.2.1

将 $- 27$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 27}{1} - \frac{27}{2} + 108$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $\frac{- 27}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

解题步骤 4.2.2.2.3

将 $\frac{- 27}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

解题步骤 4.2.2.2.4

将 $108$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1}$

解题步骤 4.2.2.2.5

将 $\frac{108}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.6

将 $\frac{108}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.4.1

将 $- 27$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 54 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

解题步骤 4.2.2.4.2

将 $108$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 54 - 27 + 216}{2}$

解题步骤 4.2.2.5

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.5.1

从 $- 54$ 中减去 $27$ 。

$\frac{- 81 + 216}{2}$

解题步骤 4.2.2.5.2

将 $- 81$ 和 $216$ 相加。

$\frac{135}{2}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(4, - 104), (- 3, \frac{135}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例