微积分学示例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108}{x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + 13 x^{2} + 24 x - 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{3} + lim_{x \to 1} 13 x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + lim_{x \to 1} 13 x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 4

因为项 $13$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 24 x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 6

因为项 $24$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 7

计算 $108$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + 12 x + 35}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 12 x + lim_{x \to 1} 35}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 12 x + lim_{x \to 1} 35}$

解题步骤 10

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 35}$

解题步骤 11

计算 $35$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

解题步骤 12

将 $1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 12.1

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} + 13 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

解题步骤 12.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

解题步骤 12.3

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

解题步骤 12.4

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 lim_{x \to 1} x + 35}$

解题步骤 12.5

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1^{3} + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13

化简答案。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 + 13 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 + 13 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.3

将 $13$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 13 + 24 \cdot 1 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.4

将 $24$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 13 + 24 - 1 \cdot 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.5

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$\frac{1 + 13 + 24 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.6

将 $1$ 和 $13$ 相加。

$\frac{14 + 24 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.7

将 $14$ 和 $24$ 相加。

$\frac{38 - 108}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.1.8

从 $38$ 中减去 $108$ 。

$\frac{- 70}{1^{2} + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 70}{1 + 12 \cdot 1 + 35}$

解题步骤 13.2.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 70}{1 + 12 + 35}$

解题步骤 13.2.3

将 $1$ 和 $12$ 相加。

$\frac{- 70}{13 + 35}$

解题步骤 13.2.4

将 $13$ 和 $35$ 相加。

$\frac{- 70}{48}$

解题步骤 13.3

约去 $- 70$ 和 $48$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.1

从 $- 70$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 35)}{48}$

解题步骤 13.3.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot 24}$

解题步骤 13.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 35}{2 \cdot 24}$

解题步骤 13.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 35}{24}$

解题步骤 13.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{35}{24}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{35}{24}$

小数形式：

$- 1.458\overline{3}$

微积分学 示例

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