微积分学示例

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x - 6}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 6$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.6

合并分数。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ 。

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

从 $0$ 中减去 $- 6$ 。

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{6}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

解题步骤 1.4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

解题步骤 1.4.3.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{2 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

解题步骤 2.4

化简项。

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解题步骤 2.4.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

解题步骤 2.4.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.4.5

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.5.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.4.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.5.2.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

解题步骤 2.4.5.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

解题步骤 2.4.5.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$- 3 (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 3.4

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$9 x^{- 4}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 3.5.2

组合 $9$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$f''' (x) = \frac{9}{x^{4}}$

微积分学 示例

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