微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.6

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.8

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.9

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.9.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.9.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{4^{2} + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.10

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.10.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.10.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{16 + 1} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.10.1.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{4 + 13}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.10.1.3

将 $4$ 和 $13$ 相加。

$\frac{\sqrt{17} - \sqrt{17}}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.10.2

从 $\sqrt{17}$ 中减去 $\sqrt{17}$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $\sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{x + 13}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} + 1}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.8

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.9

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.10

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.11

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.13

组合 $2$ 和 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.14

组合 $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} x}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.16

约去公因数。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.17

重写表达式。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x + 13}]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 13}$ 重写成 ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(x + 13)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 13$ 。

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解题步骤 1.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 13$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.3.3

使用 $x + 13$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 13])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.4

根据加法法则， $x + 13$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [13]))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.6

因为 $13$ 对于 $x$ 是常数，所以 $13$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.9

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(x + 13)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.14

将 $\frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 13)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.5

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.8

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.4.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 {(x + 13)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 1.4.2

将 ${(x + 13)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + 13}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

解题步骤 1.5

合并项。

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解题步骤 1.5.1

要将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}}{1}$

解题步骤 1.5.2

要将 $- \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

解题步骤 1.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sqrt{x^{2} + 1} \cdot 2 \sqrt{x + 13}$ 的形式。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{x + 13}}{2 \sqrt{x + 13}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{\sqrt{x^{2} + 1} (2 \sqrt{x + 13})} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.2

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{1}{2 \sqrt{x + 13}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.3

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x + 13}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{x + 13} \sqrt{x^{2} + 1}}}{1}$

解题步骤 1.5.3.4

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13})}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}} - \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

解题步骤 1.5.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}}{1}$

解题步骤 1.6

用 $\frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{2 \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 4} \frac{x (2 \sqrt{x + 13}) - \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 4} x \cdot 2 \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.6

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.8

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.9

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.10

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.11

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.12

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{lim_{x \to 4} \sqrt{(x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.13

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} (x^{2} + 1) (x + 13)}}$

解题步骤 2.14

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

解题步骤 2.15

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{(lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

解题步骤 2.16

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

解题步骤 2.17

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 4} x + 13}}$

解题步骤 2.18

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 13)}}$

解题步骤 2.19

计算 $13$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 4} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

解题步骤 3

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

解题步骤 3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

解题步骤 3.3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{({(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

解题步骤 3.4

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to 4} x + 13)}}$

解题步骤 3.5

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{4 + 13} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4.1.2

将 $4$ 和 $13$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \cdot \sqrt{17} - \sqrt{4^{2} + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{16 + 1}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4.1.4

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8 \sqrt{17} - \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4.1.5

从 $8 \sqrt{17}$ 中减去 $\sqrt{17}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(4^{2} + 1) \cdot (4 + 13)}}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{(16 + 1) (4 + 13)}}$

解题步骤 4.2.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 (4 + 13)}}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $13$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17 \cdot 17}}$

解题步骤 4.2.4

将 $17$ 乘以 $17$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{289}}$

解题步骤 4.2.5

将 $289$ 重写为 $17^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{\sqrt{17^{2}}}$

解题步骤 4.2.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$

解题步骤 4.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{7 \sqrt{17}}{17}$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{7 \sqrt{17}}{17}$ 。

$\frac{7 \sqrt{17}}{2 \cdot 17}$

解题步骤 4.3.2

将 $2$ 乘以 $17$ 。

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{7 \sqrt{17}}{34}$

小数形式：

$0.84887468 \dots$

微积分学 示例

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