微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ on $- 3$ , $1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{4}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.5

组合 $\frac{12}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.6

约去 $12$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2.4

用 $4 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{2} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{2} - 4 + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $4 x^{2} - 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{2} - 4$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{2} - 4$ 。

$4 x^{2} - 4$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{2} - 4 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$4 x^{2} = 4$

解题步骤 1.2.3

将 $4 x^{2} = 4$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $4 x^{2} = 4$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{4}{4}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $4$ 除以 $4$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{4 x^{3}}{3} - 4 x + 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $- 4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.2.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 8 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.4.3

将 $- 8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 5}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{3}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 {(- 1)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{3} - 4 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{4}{3} + 4 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2

求公分母。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

解题步骤 1.4.2.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.2.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 + 4 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.4.2.2.4.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 4 + 12 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.4.2

将 $- 4$ 和 $12$ 相加。

$\frac{8 + 3}{3}$

解题步骤 1.4.2.2.4.3

将 $8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{11}{3}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(1, - \frac{5}{3}), (- 1, \frac{11}{3})$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 {(- 3)}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去 ${(- 3)}^{3}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{4 {(- 1 (3))}^{3}}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

对 $- 1 (3)$ 运用乘积法则。

$\frac{4 ({(- 1)}^{3} \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{3})}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

从 $4 (- 1 \cdot 3^{3})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.5.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 (1)} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.2

约去公因数。

$\frac{3 (4 (- 1 \cdot 3^{2}))}{3 \cdot 1} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.3

重写表达式。

$\frac{4 (- 1 \cdot 3^{2})}{1} - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.5.4

用 $4 (- 1 \cdot 3^{2})$ 除以 $1$ 。

$4 (- 1 \cdot 3^{2}) - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (- 1 \cdot 9) - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

乘以 $4 (- 1 \cdot 9)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$4 \cdot - 9 - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$- 36 - 4 \cdot - 3 + 1$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$- 36 + 12 + 1$

解题步骤 2.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 36$ 和 $12$ 相加。

$- 24 + 1$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 24$ 和 $1$ 相加。

$- 23$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 {(1)}^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{4 \cdot 1}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 4 \cdot 1 + 1$

解题步骤 2.2.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 4 + 1$

解题步骤 2.2.2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $- 4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} + 1$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{3}{3} + 1$

解题步骤 2.2.2.2.3

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + 1$

解题步骤 2.2.2.2.4

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 2.2.2.2.6

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{3}{3}$

解题步骤 2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4 - 4 \cdot 3 + 3}{3}$

解题步骤 2.2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 - 12 + 3}{3}$

解题步骤 2.2.2.4.2

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 8 + 3}{3}$

解题步骤 2.2.2.4.3

将 $- 8$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 5}{3}$

解题步骤 2.2.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{3}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 3, - 23), (1, - \frac{5}{3})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 1, \frac{11}{3})$

最小绝对值： $(- 3, - 23)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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