微积分学示例

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\sqrt{3} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{3} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\sqrt{3} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \sqrt{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

解题步骤 2.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = \sqrt{3} (- \sin (x)) - \cos (x)$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$f'' (x) = - \sqrt{3} \sin (x) - \cos (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 4

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 5.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 8

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 9

分离分数。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 11

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 12

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

解题步骤 13

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 14

将 $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 14.1

将 $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 14.2

化简左边。

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解题步骤 14.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 14.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 14.3

化简右边。

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解题步骤 14.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

解题步骤 14.3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 15

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 16

化简右边。

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解题步骤 16.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 17

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 18

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 18.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 18.2

合并分数。

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解题步骤 18.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 18.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 18.3

化简分子。

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解题步骤 18.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 18.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 19

方程 $x = \frac{π}{3}$ 的解。

$x = \frac{π}{3}, \frac{4 π}{3}$

解题步骤 20

计算在 $x = \frac{π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21

计算二阶导数。

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解题步骤 21.1

化简每一项。

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解题步骤 21.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2

乘以 $- \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 21.1.2.1

组合 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 21.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 21.1.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3.4.2

重写表达式。

$- \frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.3.5

计算指数。

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 21.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 21.2

合并分数。

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解题步骤 21.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 - 1}{2}$

解题步骤 21.2.2

化简表达式。

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解题步骤 21.2.2.1

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 4}{2}$

解题步骤 21.2.2.2

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 22

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 23

求 $x = \frac{π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 23.1

使用表达式中的 $\frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2

化简结果。

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解题步骤 23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 23.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2

乘以 $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 23.2.1.2.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 23.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 23.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.3.5

计算指数。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 23.2.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 23.2.2

合并分数。

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解题步骤 23.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{3 + 1}{2}$

解题步骤 23.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 23.2.2.2.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{π}{3}) = \frac{4}{2}$

解题步骤 23.2.2.2.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{π}{3}) = 2$

解题步骤 23.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 24

计算在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25

计算二阶导数。

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解题步骤 25.1

化简每一项。

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解题步骤 25.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3

乘以 $- \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 25.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.3

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.5

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 25.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 25.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.4.5

计算指数。

$\frac{3}{2} - \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 25.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{3}{2} - - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 25.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} - - \frac{1}{2}$

解题步骤 25.1.7

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 25.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 25.1.7.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 25.2

合并分数。

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解题步骤 25.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 1}{2}$

解题步骤 25.2.2

化简表达式。

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解题步骤 25.2.2.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 25.2.2.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 26

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{4 π}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{4 π}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 27

求 $x = \frac{4 π}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 27.1

使用表达式中的 $\frac{4 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2

化简结果。

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解题步骤 27.2.1

化简每一项。

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解题步骤 27.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = \sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3

乘以 $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 27.2.1.3.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 27.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.1.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.4.5

计算指数。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 27.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 27.2.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 27.2.2

合并分数。

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解题步骤 27.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 3 - 1}{2}$

解题步骤 27.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 27.2.2.2.1

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 4}{2}$

解题步骤 27.2.2.2.2

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$f (\frac{4 π}{3}) = - 2$

解题步骤 27.2.3

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 28

这些是 $f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{3}, 2)$ 是一个局部最大值

$(\frac{4 π}{3}, - 2)$ 是一个局部最小值

解题步骤 29

微积分学 示例

微积分学示例