微积分学示例

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ 重写为 $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ 。

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

解题步骤 4.3.1.2

将 $2$ 移到 $e^{3 x}$ 的左侧。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

解题步骤 4.3.1.3

通过指数相加将 $e^{3 x}$ 乘以 $e^{3 x}$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

解题步骤 4.3.2

将 $2 e^{3 x}$ 和 $2 e^{3 x}$ 相加。

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 7

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 8

使 $u_{1} = 3 x$ 。然后使 $d u_{1} = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{1} = 3 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 8.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 9

组合 $e^{u_{1}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $4$ 。

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 12

$e^{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $e^{u_{1}}$ 。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

解题步骤 13

使 $u_{2} = 6 x$ 。然后使 $d u_{2} = 6 d x$ ，以便 $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 13.1

设 $u_{2} = 6 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 13.1.1

对 $6 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 13.1.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 13.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 \cdot 1$

解题步骤 13.1.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$6$

解题步骤 13.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

解题步骤 14

组合 $e^{u_{2}}$ 和 $\frac{1}{6}$ 。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

解题步骤 15

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 16

$e^{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $e^{u_{2}}$ 。

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

解题步骤 17

化简。

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 18

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 18.1

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

解题步骤 18.2

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

解题步骤 19

答案是函数 $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

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