微积分学示例

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.2

组合 $2$ 和 $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

解题步骤 3.3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 3$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6

化简表达式。

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解题步骤 3.4.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.6.2

将 $3$ 移到 $x^{2} + 3$ 的左侧。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.7

根据加法法则， $x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.9

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10

合并分数。

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解题步骤 3.4.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.4.10.3

将 $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ 乘以 $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.5

通过指数相加将 $x^{2} + 3$ 乘以 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $x^{2} + 3$ 乘以 ${(x^{2} + 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $x^{2} + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

解题步骤 3.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

解题步骤 3.5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.3

运用分配律。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.4

运用分配律。

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5

化简分子。

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解题步骤 3.6.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.5.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(6 x + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.5.2.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.5.2.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.2.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.2.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.2.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.3

从 $3 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$ 。

$\frac{6 x (- 3 x^{2}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5

化简每一项。

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解题步骤 3.6.5.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{6 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.5.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.5.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{6 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.3

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.4

将 $9$ 乘以 $6$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x \cdot x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.5.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.7

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.8

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.9

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.5.10

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 4 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.6

从 $54 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{- 18 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.5.7

将 $12 x^{2}$ 和 $6 x^{2}$ 相加。

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.6

重新排序项。

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7

从 $- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.6.7.1

从 $- 18 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.2

从 $18 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.3

从 $50 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.4

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.5

从 $2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.6

从 $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.7.7

从 $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.8

从 $- 9 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3}) + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.9

从 $9 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.10

从 $- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.11

从 $25 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.12

从 $- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.13

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.14

从 $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.15

将 $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ 重写为 $- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ 。

$\frac{2 (- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 3.6.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

微积分学 示例

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