微积分学示例

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x - 1$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

约去 $u$ 和 $u^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.2

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2.3

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

解题步骤 2.3.2

约去公因数。

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

解题步骤 2.3.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 3

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\ln (| u |) + C$

解题步骤 4

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$

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