微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

解题步骤 2

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

解题步骤 5.2.2

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

从 $- t^{- 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

解题步骤 5.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

解题步骤 5.3.3

从 $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

解题步骤 5.3.4

将 $- (t^{- 1} - 1)$ 重写为 $- 1 (t^{- 1} - 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

解题步骤 5.3.5

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

解题步骤 6.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

解题步骤 6.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 6.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 6.5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 6.6

计算极限值。

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解题步骤 6.6.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.6.2

化简答案。

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解题步骤 6.6.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

解题步骤 6.6.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

解题步骤 6.6.2.3

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.6.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 6.6.2.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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