微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\frac{3}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{10} x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{3}{10}$ 。

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $\frac{15}{10}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6

约去 $15$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.1

从 $15 x^{4}$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{4}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

组合 $4$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.5

组合 $\frac{12}{2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6

约去 $12$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.1

从 $12 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.2.6.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.2.6.2.4

用 $6 x^{3}$ 除以 $1$ 。

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 1.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

解题步骤 1.2.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ 。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $6 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.3

重写多项式。

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $\frac{3}{10}$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ 中求得的点为 $(0, 0)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 0)$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

乘以 $\frac{3}{10} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

组合 $\frac{3}{10}$ 和 $- 1$ 。

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.3

将负号移到分数的前面。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

解题步骤 3.3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

解题步骤 3.3.2.2.4

将 $- 1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

解题步骤 3.3.2.2.5

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

解题步骤 3.3.2.2.6

将 $\frac{- 1}{1}$ 乘以 $\frac{10}{10}$ 。

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.4

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.4.2

将 $- 3$ 和 $10$ 相加。

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

解题步骤 3.3.2.4.3

从 $7$ 中减去 $10$ 。

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

解题步骤 3.3.2.4.4

将负号移到分数的前面。

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

解题步骤 3.3.2.5

最终答案为 $- \frac{3}{10}$ 。

$- \frac{3}{10}$

解题步骤 3.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ 中求得的点为 $(- 1, - \frac{3}{10})$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, - \frac{3}{10})$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $- 1.331$ 。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.4

将 $12$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.5

将 $6$ 乘以 $- 1.1$ 。

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 7.986$ 和 $14.52$ 相加。

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

解题步骤 5.2.2.2

从 $6.534$ 中减去 $6.6$ 。

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 0.066$ 。

$- 0.066$

解题步骤 5.3

在 $- 1.1$ ，二阶导数为 $- 0.066$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, - 1)$ 上递减

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.3

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.4

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5.5

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{- 1}{4}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.9.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.9.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.11

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.12

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.14

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.14.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.14.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.15.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 6.2.1.15.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 6.2.1.15.3

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

解题步骤 6.2.1.15.4

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.16

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

解题步骤 6.2.2

求公分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

解题步骤 6.2.2.3

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.4

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

解题步骤 6.2.5

化简表达式。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $- 3$ 和 $12$ 相加。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

解题步骤 6.2.5.2

从 $9$ 中减去 $12$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.2.6

最终答案为 $- \frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 6.3

在 $- \frac{1}{2}$ ，二阶导数为 $- 0.75$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 1, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $0.001$ 。

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.4

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.5

将 $6$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

解题步骤 7.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0.006$ 和 $0.12$ 相加。

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0.126$ 和 $0.6$ 相加。

$f'' (0.1) = 0.726$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0.726$ 。

$0.726$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $0.726$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例