微积分学示例

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ 。

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2 e^{x}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y e^{x}$ 对 $y$ 的导数是 $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y \cos (2 x y)$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ 。

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = \cos (2 x y)$ 。

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = \cos (y)$ 且 $g (y) = 2 x y$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x y$ 。

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.3.3

使用 $2 x y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.4

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x y$ 对 $y$ 的导数是 $2 x \frac{d}{d y} [y]$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

解题步骤 3.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

解题步骤 3.9

将 $\cos (2 x y)$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

解题步骤 4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$

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