微积分学示例

$\int x \ln (1 + x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (1 + x)$ ， $d v = x$ 。

$\ln (1 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\ln (1 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 2.2

组合 $\ln (1 + x)$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 4

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x + 1}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

解题步骤 5

用 $x^{2}$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + x$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

解题步骤 5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 5.7

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

解题步骤 5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

解题步骤 5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x - 1$ 中的所有符号

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

解题步骤 5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

解题步骤 5.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

解题步骤 9

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 9.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 9.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 9.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 10

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - x + C + \ln (| u |) + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

$\frac{1}{2} \ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

解题步骤 11.2

化简。

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解题步骤 11.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (1 + x)$ 。

$\frac{\ln (1 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

解题步骤 11.2.2

组合 $\frac{\ln (1 + x)}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) + C$

解题步骤 11.2.3

要将 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 11.2.4

组合 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 11.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 11.2.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 11.2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.9

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.9.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 11.2.9.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| u |))}{2} + C$

解题步骤 12

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |))}{2} + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

要将 $\ln (| x + 1 |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.2

组合 $\ln (| x + 1 |)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.4

将 $2$ 移到 $\ln (| x + 1 |)$ 的左侧。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - (- x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2})}{2} + C$

解题步骤 13.5

运用分配律。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} - - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 13.6

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 13.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + 1 x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 13.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$

解题步骤 15

将 $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x + 1 |))) + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (1 + x) x^{2} + x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

将 $\ln (1 + x) x^{2}$ 和 $\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ 相加。

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解题步骤 16.1.1

将 $\ln (x + 1)$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 16.1.2

要将 $x^{2} \ln (x + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + x^{2} \ln (x + 1) \cdot \frac{2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 16.1.3

组合 $x^{2} \ln (x + 1)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 16.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (x + \frac{x^{2} \ln (x + 1) \cdot 2 - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 16.2

将 $2$ 移到 $x^{2} \ln (x + 1)$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (x + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}) + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 17.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

解题步骤 17.3

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ 。

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解题步骤 17.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2}$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 17.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)}{4} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} (2 x^{2} \ln (x + 1) - x^{2} - 2 \ln (| x + 1 |)) + C$

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