微积分学示例

$f (x) = 4 e^{x} + x^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 4 e^{x} + x^{3} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 e^{x} d x + \int x^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int e^{x} d x + \int x^{3} d x$

解题步骤 5

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$4 (e^{x} + C) + \int x^{3} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (e^{x} + C) + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 7

化简。

$4 e^{x} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = 4 e^{x} + x^{3}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $4 e^{x} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$