微积分学示例

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

解题步骤 1

将 $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

乘以 $1$ 。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

解题步骤 4.1.2

分离分数。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

解题步骤 4.1.3

将 $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\sec^{2} (x)$ 。

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4.1.4

用 $e^{- x}$ 除以 $1$ 。

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $e^{x}$ 的左侧。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.4.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.5

化简 $e^{0} \sec^{2} (x)$ 。

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 7

$e^{x}$ 对 $x$ 的积分为 $e^{x}$ 。

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 8

因为 $\tan (x)$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ ，所以 $\sec^{2} (x)$ 的积分为 $\tan (x)$ 。

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

解题步骤 9

化简。

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ 的不定积分。

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$

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