微积分学示例

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

解题步骤 4

对 $\frac{x^{2} + 1}{x}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 6

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 7

展开 ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ 。

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解题步骤 7.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.5

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.6

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 7.7

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.8

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.10

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.12

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.13

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.15

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.16

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.17

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.19

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.20

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.21

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 7.22

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

解题步骤 7.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

解题步骤 7.24

将 $2$ 和 $x^{- 2}$ 重新排序。

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

解题步骤 11

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

解题步骤 12.2

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

解题步骤 13

答案是函数 $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

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