微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \cot (- \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

因为余切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$\cot (lim_{x \to \frac{π}{3}} - \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + \csc (x) - \frac{π}{4})$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\cot (- lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{2 \sqrt{3} x}{π} + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

解题步骤 3

因为项 $\frac{2 \sqrt{3}}{π}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

解题步骤 4

因为余割函数是连续的，将极限符号移至三角函数内。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{π}{4})$

解题步骤 5

计算 $\frac{π}{4}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

解题步骤 6

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - \frac{π}{4})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.1

约去公因数。

$\cot (- (\frac{2 \sqrt{3}}{π} \cdot \frac{π}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.1.2

重写表达式。

$\cot (- (2 \sqrt{3} \frac{1}{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$\cot (- (\frac{2}{3} \sqrt{3}) + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.3

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \csc (\frac{π}{3}) - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.4

$\csc (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.5

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1.6.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 7.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.6.6.4.1

约去公因数。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6.4.2

重写表达式。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.1.6.6.5

计算指数。

$\cot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\cot (\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{- π}{4})$

解题步骤 7.3

将 $- 2 \sqrt{3}$ 和 $2 \sqrt{3}$ 相加。

$\cot (\frac{0}{3} + \frac{- π}{4})$

解题步骤 7.4

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$\cot (0 + \frac{- π}{4})$

解题步骤 7.4.2

将负号移到分数的前面。

$\cot (0 - \frac{π}{4})$

解题步骤 7.5

从 $0$ 中减去 $\frac{π}{4}$ 。

$\cot (- \frac{π}{4})$

解题步骤 7.6

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cot (\frac{7 π}{4})$

解题步骤 7.7

通过在第一象限中求出具有同样三角函数值的角来应用参考角。将表达式变为负，因为余切在第四象限为负。

$- \cot (\frac{π}{4})$

解题步骤 7.8

$\cot (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 7.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

微积分学 示例

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