微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{- 2 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{1}{- 2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 x) - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \cos (- 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (lim_{x \to 0} - 7 x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.3

因为项 $- 7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (- 7 \cdot 0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.6.1.1

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + \cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6.1.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0 + 1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.2.6.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x + \cos (- 7 x) - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \cos (- 7 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x + \cos (- 7 x) - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (- 7 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = - 7 x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 7 x$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.1.3

使用 $- 7 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.2

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 - \sin (- 7 x) \cdot - 7 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4.5

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x) + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

将 $1 + 7 \sin (- 7 x)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{1 + 7 \sin (- 7 x)}{1}$

解题步骤 2.4

用 $1 + 7 \sin (- 7 x)$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 1 + 7 \sin (- 7 x)$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

解题步骤 3.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{- 2} (1 + lim_{x \to 0} 7 \sin (- 7 x))$

解题步骤 3.3

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 lim_{x \to 0} \sin (- 7 x))$

解题步骤 3.4

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (lim_{x \to 0} - 7 x))$

解题步骤 3.5

因为项 $- 7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 lim_{x \to 0} x))$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{- 2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (- 7 \cdot 0))$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 7$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \sin (0))$

解题步骤 5.2.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (1 + 7 \cdot 0)$

解题步骤 5.2.3

将 $7$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{2} (1 + 0)$

解题步骤 5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{2}$

小数形式：

$- 0.5$

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