微积分学示例

$\int \frac{3}{x^{3}} + 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int x^{- 3} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

解题步骤 6

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$\frac{- 3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 9.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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