微积分学示例

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 4.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 4.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 4.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 4.3.3

将负号移到分数的前面。

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

解题步骤 8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

解题步骤 10.2

化简。

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解题步骤 10.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

解题步骤 10.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

解题步骤 10.2.4

从 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

解题步骤 10.2.5

约去公因数。

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解题步骤 10.2.5.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

解题步骤 10.2.5.2

约去公因数。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

解题步骤 10.2.5.3

重写表达式。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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