微积分学示例

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4 x}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

约去 $x$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x^{3}} d x$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{x \cdot 4}{x \cdot x^{2}} d x$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} + \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt[3]{8 x} d x + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = 8 x$ 。然后使 $d u = 8 d x$ ，以便 $\frac{1}{8} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = 8 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $8 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$8$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = 8 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 8 \cdot - 2$

解题步骤 3.3

将 $8$ 乘以 $- 2$ 。

$u_{lower} = - 16$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = 8 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 8 \cdot 2$

解题步骤 3.5

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = 16$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 16$

$u_{upper} = 16$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} \frac{1}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

组合 $\sqrt[3]{u}$ 和 $\frac{1}{8}$ 。

$\int_{- 16}^{16} \frac{\sqrt[3]{u}}{8} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{8}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{8}$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} \sqrt[3]{u} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{1}{8} \int_{- 16}^{16} u^{\frac{1}{3}} d u + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{\frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + \int_{- 2}^{2} \frac{4}{x^{2}} d x$

解题步骤 8

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 9.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 \int_{- 2}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 10

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{8} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 16}^{16} + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

解题步骤 11

代入并化简。

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解题步骤 11.1

计算 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 在 $16$ 处和在 $- 16$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 (- x^{- 1}]_{- 2}^{2})$

解题步骤 11.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$\frac{1}{8} ((\frac{3}{4} \cdot 16^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $16^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3}{4} {(- 16)}^{\frac{4}{3}}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

解题步骤 11.3.2

组合 ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{{(- 16)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

解题步骤 11.3.3

将 $3$ 移到 ${(- 16)}^{\frac{4}{3}}$ 的左侧。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 \cdot {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 ((- 2^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

解题步骤 11.3.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + {(- 2)}^{- 1})$

解题步骤 11.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{- 2})$

解题步骤 11.3.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

解题步骤 11.3.7

从 $- \frac{1}{2}$ 中减去 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (- 2 (\frac{1}{2}))$

解题步骤 11.3.8

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 2}{2})$

解题步骤 11.3.9

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.9.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2}$

解题步骤 11.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.9.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

解题步骤 11.3.9.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

解题步骤 11.3.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 (\frac{- 1}{1})$

解题步骤 11.3.9.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) + 4 \cdot - 1$

解题步骤 11.3.10

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{8} (\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

解题步骤 12

化简每一项。

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解题步骤 12.1

运用分配律。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

解题步骤 12.2

合并。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} + \frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}) - 4$

解题步骤 12.3

乘以 $\frac{1}{8} (- \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4})$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $\frac{1}{8}$ 乘以 $\frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{4}$ 。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - 4$

解题步骤 12.3.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1 (3 \cdot 16^{\frac{4}{3}})}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

解题步骤 12.4

化简每一项。

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解题步骤 12.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{8 \cdot 4} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

解题步骤 12.4.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3 \cdot 16^{\frac{4}{3}}}{32} - \frac{3 {(- 16)}^{\frac{4}{3}}}{32} - 4$

小数形式：

$- 4$

解题步骤 14

微积分学 示例

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