微积分学示例

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{5}$ 的指数 $5$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $32$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $32$ 。

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $32$ 中减去 $32$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $16$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2^{4} - 1 \cdot 16}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$\frac{0}{16 - 16}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{5} - 32$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3.5

将 $5 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4

约去 $x^{4}$ 和 $x^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3}}$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to 2} \frac{5 x}{4}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{5}{4}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5}{4} lim_{x \to 2} x$

解题步骤 3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5}{4} \cdot 2$

解题步骤 4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5}{2 (2)} \cdot 2$

解题步骤 4.2

约去公因数。

$\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot 2$

解题步骤 4.3

重写表达式。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{2}$

小数形式：

$2.5$

微积分学 示例

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