微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.5

组合 $\frac{- 3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.6

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.2.6.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.6.2.4

用 $- x^{2}$ 除以 $1$ 。

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- x^{2} - 9 (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $- x^{2} - 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x - 18 \cdot 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 18$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 x - 18$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 2 x - 18$ 。

$- 2 x - 18$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x - 18 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x - 18 = 0$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $18$ 。

$- 2 x = 18$

解题步骤 2.3

将 $- 2 x = 18$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.1

将 $- 2 x = 18$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

解题步骤 2.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

解题步骤 2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{18}{- 2}$

解题步骤 2.3.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.3.1

用 $18$ 除以 $- 2$ 。

$x = - 9$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $- 9$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 9$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.2

从 $- 729$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.3

约去公因数。

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.2.4

重写表达式。

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 243$ 。

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4

通过指数相加将 $- 9$ 乘以 ${(- 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1

将 $- 9$ 乘以 ${(- 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.4.1.1

对 $- 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

解题步骤 3.1.2.1.4.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

解题步骤 3.1.2.1.5

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 9) = 243 - 729$

解题步骤 3.1.2.2

从 $243$ 中减去 $729$ 。

$f (- 9) = - 486$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- 486$ 。

$- 486$

解题步骤 3.2

通过将 $- 9$ 代入 $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ 中求得的点为 $(- 9, - 486)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 9, - 486)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 9)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 9.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 9.1$ 。

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

解题步骤 5.2.2

从 $18.2$ 中减去 $18$ 。

$f'' (- 9.1) = 0.2$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0.2$ 。

$0.2$

解题步骤 5.3

在 $- 9.1$ 处，二阶导数为 $0.2$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 9)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 9)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 9, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 8.9$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 2$ 乘以 $- 8.9$ 。

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

解题步骤 6.2.2

从 $17.8$ 中减去 $18$ 。

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 0.2$ 。

$- 0.2$

解题步骤 6.3

在 $- 8.9$ ，二阶导数为 $- 0.2$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 9, \infty)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 9, \infty)$ 上递减

解题步骤 7

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(- 9, - 486)$ 。

$(- 9, - 486)$

解题步骤 8

微积分学 示例

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