微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

将 $- 1 (\frac{2}{3})$ 重写为 $- (\frac{2}{3})$ 。

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

解题步骤 1.1.2

组合 $k$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

解题步骤 1.1.3

将 $2$ 移到 $k$ 的左侧。

$- \frac{2 k}{3} - 1$

$- \frac{2 k}{3} - 1$

解题步骤 1.2

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ 。

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解题步骤 3.1

从总和中因式分解出 $- \frac{2}{3}$ 。

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

解题步骤 3.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 3.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

解题步骤 3.4.1.2

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

解题步骤 3.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

解题步骤 3.4.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

解题步骤 3.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $72$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

解题步骤 3.4.3.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

解题步骤 3.4.3.3

重写表达式。

$- 1 \cdot 24$

$- 1 \cdot 24$

解题步骤 3.4.4

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- 24$

$- 24$

$- 24$

解题步骤 4

计算 $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ 。

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解题步骤 4.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 4.2

将值代入公式中。

$(- 1) (8)$

解题步骤 4.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8$

$- 8$

解题步骤 5

将求和的总和相加。

$- 24 - 8$

解题步骤 6

从 $- 24$ 中减去 $8$ 。

$- 32$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$