微积分学示例

$\int x (x + 2) (4 x - 1) d x$

解题步骤 1

使 $u = 4 x - 1$ 。然后使 $d u = 4 d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 4 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $4 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $4 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$4$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.2

组合 $2$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 2 \cdot 4}{4}) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{1 + 8}{4}) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.4.2

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) u \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $u$ 。

$\int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (\frac{u}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4}) + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} (\frac{u}{4} + \frac{9}{4})) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$\int (\frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}) \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$\int \frac{u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.7

将 $\frac{u}{4}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.8

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.9

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{1} u^{1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.12

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.13

将 $\frac{u^{2}}{16}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u^{2} u}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.14

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{2} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.16

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{3}}{16 \cdot 4} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.17

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.18

将 $\frac{u}{4}$ 乘以 $\frac{9}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.19

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.20

将 $\frac{u \cdot 9}{16}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.21

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.22

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.23

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u}{16} \cdot \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.24

将 $\frac{u}{16}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u \cdot u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.25

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.26

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1} u^{1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.28

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{16 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.29

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4} \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.30

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{9}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.31

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{u}{4} d u$

解题步骤 3.32

将 $\frac{9}{16}$ 乘以 $\frac{u}{4}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{16 \cdot 4} d u$

解题步骤 3.33

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{u \cdot 9 u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $9$ 移到 $u$ 的左侧。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 \cdot u \cdot u}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 4.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u)}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 4.3

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 (u^{1} u^{1})}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{1 + 1}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{u^{3}}{64} + \frac{9 u^{2}}{64} + \frac{u^{2}}{64} + \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{u^{3}}{64} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{64}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{64}$ 移到积分外。

$\frac{1}{64} \int u^{3} d u + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int \frac{9 u^{2}}{64} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 8

由于 $\frac{9}{64}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{9}{64}$ 移到积分外。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{u^{2}}{64} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{64}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{64}$ 移到积分外。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} \int u^{2} d u + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 11

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int \frac{9 u}{64} d u$

解题步骤 12

由于 $\frac{9}{64}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{9}{64}$ 移到积分外。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} \int u d u$

解题步骤 13

根据幂法则， $u$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{2} u^{2}$ 。

$\frac{1}{64} (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{64} (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

化简。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2

化简。

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解题步骤 14.2.1

要将 $\frac{3 u^{3}}{64}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3}}{64} \cdot \frac{3}{3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $192$ 的形式。

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解题步骤 14.2.2.1

将 $\frac{3 u^{3}}{64}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{64 \cdot 3} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.2.2

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3}{192} + \frac{u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{3 u^{3} \cdot 3 + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{9 u^{3} + u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.5

将 $9 u^{3}$ 和 $u^{3}$ 相加。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{10 u^{3}}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.6

约去 $10$ 和 $192$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.6.1

从 $10 u^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{192} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 14.2.6.2.1

从 $192$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 (96)} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{2 (5 u^{3})}{2 \cdot 96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} (\frac{1}{2} u^{2}) + C$

解题步骤 14.2.7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u^{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9}{64} \cdot \frac{u^{2}}{2} + C$

解题步骤 14.2.8

将 $\frac{9}{64}$ 乘以 $\frac{u^{2}}{2}$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{64 \cdot 2} + C$

解题步骤 14.2.9

将 $64$ 乘以 $2$ 。

$\frac{u^{4}}{256} + \frac{5 u^{3}}{96} + \frac{9 u^{2}}{128} + C$

解题步骤 15

使用 $4 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(4 x - 1)}^{4}}{256} + \frac{5 {(4 x - 1)}^{3}}{96} + \frac{9 {(4 x - 1)}^{2}}{128} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$\frac{1}{256} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{5}{96} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{9}{128} {(4 x - 1)}^{2} + C$

微积分学 示例

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