微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} 2 x + 1 & x \geq 1 \\ 4 - x^{2} & x = 1 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，求 $4 - x^{2}$ 的极限。

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解题步骤 1.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.1

当 $x$ 趋于 $1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 1} 4 - lim_{x \to 1} x^{2}$

解题步骤 1.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $1$ 时此极限值为常数。

$4 - lim_{x \to 1} x^{2}$

解题步骤 1.1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$4 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2}$

解题步骤 1.2

将 $1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 - 1^{2}$

解题步骤 1.3

化简答案。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$4 - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$3$

解题步骤 2

计算 $2 x + 1$ 在 $1$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$2 (1) + 1$

解题步骤 2.2

计算。

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解题步骤 2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 1$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3$

解题步骤 3

由于当 $x$ 趋于 $1$ 时， $4 - x^{2}$ 的极限等于 $x = 1$ 处的函数值，因此该函数在 $x = 1$ 处连续。

连续

解题步骤 4

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