微积分学示例

$\int x^{2} {(2 x - 1)}^{2} d x$

解题步骤 1

展开 $x^{2} {(2 x - 1)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 ${(2 x - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x - 1) (2 x - 1)$ 。

$\int x^{2} ((2 x - 1) (2 x - 1)) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) d x$

解题步骤 1.4

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.5

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.6

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.7

运用分配律。

$\int x^{2} (2 x (2 x)) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.8

移动 $x$ 。

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x \cdot x) + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.9

移动括号。

$\int x^{2} (2 \cdot 2 x) x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.10

移动括号。

$\int x^{2} (2 \cdot 2) x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.11

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 x \cdot - 1) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.12

移动 $x$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot - 1 x) + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.13

移动括号。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + x^{2} (2 \cdot - 1) x + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.14

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x + x^{2} (- 1 (2 x)) + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.15

移动括号。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot 2) x + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.16

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x + x^{2} (- 1 \cdot - 1) d x$

解题步骤 1.17

移动 $x^{2}$ 。

$\int 2 \cdot 2 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.18

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{2} x \cdot x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (x^{2} x^{1}) x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{2 + 1} x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.21

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{3} x + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 (x^{3} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.23

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{3 + 1} + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.24

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} + 2 \cdot - 1 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.25

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2} x - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.26

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.27

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.28

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.29

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.30

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.31

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.32

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.33

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1 x^{2} d x$

解题步骤 1.34

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 4 x^{4} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} d x$

解题步骤 1.35

从 $- 2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\int 4 x^{4} - 4 x^{3} + x^{2} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 4 x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int x^{4} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 5

由于 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 4$ 移到积分外。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{2} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.1.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.2

化简。

$\frac{4 x^{5}}{5} - x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

解题步骤 8.3

重新排序项。

$\frac{4}{5} x^{5} - x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

微积分学 示例

微积分学示例