微积分学示例

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

解题步骤 3

$e^{t}$ 对 $t$ 的积分为 $e^{t}$ 。

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

解题步骤 4

由于 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

解题步骤 5

使 $u = 5 t$ 。然后使 $d u = 5 d t$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 5 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $5 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [5 t]$

解题步骤 5.1.2

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$5 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u = 5 t$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u = 5 t$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

解题步骤 5.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 6

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

解题步骤 8.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1

约去公因数。

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

解题步骤 8.2.2

重写表达式。

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

解题步骤 8.3

将 $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

解题步骤 9

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $e^{t}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

解题步骤 10.2

计算 $e^{u}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

化简。

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

解题步骤 10.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

解题步骤 10.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

解题步骤 10.3.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

解题步骤 10.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e - 1 + e^{5} - 1$

解题步骤 10.3.6

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$e + e^{5} - 2$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e + e^{5} - 2$

小数形式：

$149.13144093 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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