微积分学示例

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \int u^{- 2} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$10 (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $10 (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $10 (- \frac{1}{u}) + C$ 。

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$- 10 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 5.2.2

组合 $- 10$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{- 10}{u} + C$

解题步骤 5.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{u} + C$

解题步骤 6

使用 $1 + x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{10}{1 + x} + C$

微积分学 示例

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