微积分学示例

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

解题步骤 1

将分数分解成多个分数。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

解题步骤 3

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

解题步骤 3.2

用 $e^{y}$ 除以 $1$ 。

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

解题步骤 5

$\frac{1}{y}$ 对 $y$ 的积分为 $\ln (| y |)$ 。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

解题步骤 6

$e^{y}$ 对 $y$ 的积分为 $e^{y}$ 。

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

代入并化简。

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解题步骤 7.1.1

计算 $\ln (| y |)$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

解题步骤 7.1.2

计算 $e^{y}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

解题步骤 7.1.3

化简。

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

解题步骤 7.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

解题步骤 7.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

解题步骤 7.3.3

用 $3$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

小数形式：

$19.56447967 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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