微积分学示例

$\int \frac{{(4 + 2 \sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{{(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 1.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 1.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 1.4.3

将负号移到分数的前面。

$\int {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $- d u = \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 + 2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.1.3.5

在公分母上合并分子。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$0 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.1.3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.1.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$0 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.3.11

约去公因数。

$0 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.3.12

重写表达式。

$0 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.4

将 $0$ 和 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 相加。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 4

使用 $4 + 2 x^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} {(4 + 2 x^{\frac{1}{2}})}^{3} + C$

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