微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.6

合并分数。

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解题步骤 1.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.7

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

解题步骤 1.10

合并分数。

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解题步骤 1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

解题步骤 1.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 1.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 1.10.4

组合 $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{{(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - x (\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.9.4

组合 $\frac{1}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.12

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13

合并分数。

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解题步骤 2.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - 2 \frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.13.4

组合 $\frac{- 2 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x \cdot x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} + \frac{- 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.19

要将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.20

组合 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.22.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{{(x^{2} - 4)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.23

化简 ${(x^{2} - 4)}^{1} \cdot 3$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{(x^{2} - 4) \cdot 3 - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.24

将 $3$ 移到 $x^{2} - 4$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{\frac{3 \cdot (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.25

将 $\frac{\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.26

将 $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.27.1

移动 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 ({(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.27.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 2.27.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.28

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2}}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{3 (3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 2.29

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} - 4) - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30

化简。

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解题步骤 2.30.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 3 \cdot - 4 - 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2}) + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3

化简分子。

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解题步骤 2.30.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.30.3.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 (3 \cdot - 4) + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.2

乘以 $4 (3 \cdot - 4)$ 。

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解题步骤 2.30.3.1.2.1

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} + 4 \cdot - 12 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 + 4 (- 2 x^{2})}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{2} - 48 - 8 x^{2}}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.3.2

从 $12 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4

从 $4 x^{2} - 48$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.30.4.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 48}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4.2

从 $- 48$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 \cdot - 12}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 2.30.4.3

从 $4 x^{2} + 4 \cdot - 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (x^{2} - 12)}{9 {(x^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.6

合并分数。

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解题步骤 4.1.6.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.6.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2 {(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.6.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 4)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 4.1.7

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 4.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 4.1.9

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.10

合并分数。

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解题步骤 4.1.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} (2 x)$

解题步骤 4.1.10.2

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 4.1.10.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} x$

解题步骤 4.1.10.4

组合 $\frac{4}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$4 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 4)}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 4}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 4} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 4})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2} - 4}$ 重写成 ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x^{2} - 4)}^{1} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.4

化简。

$27 (x^{2} - 4) = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.5

运用分配律。

$27 x^{2} + 27 \cdot - 4 = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.6

将 $27$ 乘以 $- 4$ 。

$27 x^{2} - 108 = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} - 108 = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

在等式两边都加上 $108$ 。

$27 x^{2} = 108$

解题步骤 6.3.3.2

将 $27 x^{2} = 108$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $27 x^{2} = 108$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{108}{27}$

解题步骤 6.3.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{108}{27}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

用 $108$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 6.3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 6.3.3.4

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 6.3.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 6.3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 6.3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 6.3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 6.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 ({(0)}^{2} - 12)}{9 {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 (0 - 12)}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

从 $0$ 中减去 $12$ 。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(0 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 12}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 乘以 $- 12$ 。

$\frac{- 48}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.3.2

从 $- 48$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 16)}{9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.4

约去公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $9 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 16)}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 16}{3 (3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}})}$

解题步骤 9.4.3

重写表达式。

$\frac{- 16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{3 {(- 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {({(0)}^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = {(0 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f (0) = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 ${(- 4)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$y = {(- 4)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 12

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {({(- 2)}^{2} - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 {(4 - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13.1.3

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 13.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0^{4}}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{9 \cdot 0}$

解题步骤 13.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

解题步骤 13.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{4 ({(- 2)}^{2} - 12)}{0}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, - 2)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = \frac{4 (- 4)}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {({(- 4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.2.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.2.2.2.2

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 4) = \frac{- 16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 4) = - \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.2.2.4

最终答案为 $- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3

将区间 $(- 2, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 1$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1)}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {({(- 1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.3.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (- 1) = \frac{- 4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- 1) = - \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.3.2.4

最终答案为 $- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$- \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.4

将区间 $(0, 2)$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = \frac{4 (1)}{3 {({(1)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.4.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.4.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(1 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.4.2.2.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (1) = \frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.4.2.3

最终答案为 $\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.5

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{4 (4)}{3 {({(4)}^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.5.2

化简结果。

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解题步骤 14.5.2.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{16}{3 {(4^{2} - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.5.2.2

化简分母。

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解题步骤 14.5.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = \frac{16}{3 {(16 - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.5.2.2.2

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$f' (4) = \frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.5.2.3

最终答案为 $\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{16}{3 \cdot 12^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = - 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 2$ 是极小值。

$x = - 2$ 是一个极小值

解题步骤 14.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14.8

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 14.9

这些是 $f (x) = {(x^{2} - 4)}^{\frac{2}{3}}$ 的局部极值。

$x = - 2$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = - 2$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例