微积分学示例

$x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x + 3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 {(1 - x)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

解题步骤 2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{\frac{- 2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1 \cdot 1))$

解题步骤 2.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} (0 - 1))$

解题步骤 2.13

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1)$

解题步骤 2.14

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + 3 (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot - 1)$

解题步骤 2.15

组合 $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $- 1$ 。

$1 + 3 \frac{{(1 - x)}^{- \frac{2}{3}} \cdot - 1}{3}$

解题步骤 2.16

将 $- 1$ 移到 ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$1 + 3 \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 2.17

将 $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 重写为 $- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + 3 \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 2.18

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 + 3 \frac{- 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.19

将负号移到分数的前面。

$1 + 3 (- \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.20

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 - 3 \frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.21

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$1 + \frac{- 3}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.22

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.23

约去公因数。

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解题步骤 2.23.1

从 $3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 ({(1 - x)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.23.2

约去公因数。

$1 + \frac{3 \cdot - 1}{3 {(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.23.3

重写表达式。

$1 + \frac{- 1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.24

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{1}{{(1 - x)}^{\frac{2}{3}}}$

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