微积分学示例

$x \cdot \sin (x)$

解题步骤 1

将 $x \cdot \sin (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \cdot \sin (x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int x \cdot \sin (x) d x$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin (x)$ 。

$x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

解题步骤 6.2

将 $\int \cos (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

解题步骤 7

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

解题步骤 8

将 $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ 重写为 $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ 。

$- x \cos (x) + \sin (x) + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = x \cdot \sin (x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- x \cos (x) + \sin (x) + C$

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