微积分学示例

$5 x^{2} (x + 47)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2} (x + 47)$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 47$ 。

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x + 47$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ 。

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.3

因为 $47$ 对于 $x$ 是常数，所以 $47$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

解题步骤 1.3.6

将 $2$ 移到 $x + 47$ 的左侧。

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

运用分配律。

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

解题步骤 1.4.2

运用分配律。

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.3

运用分配律。

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4

合并项。

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解题步骤 1.4.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

解题步骤 1.4.4.6

将 $2$ 乘以 $47$ 。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

解题步骤 1.4.4.7

将 $94$ 乘以 $5$ 。

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

解题步骤 1.4.4.8

将 $5 x^{2}$ 和 $10 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{2} + 470 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [470 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $470$ 对于 $x$ 是常数，所以 $470 x$ 对 $x$ 的导数是 $470 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 x + 470 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $470$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 30 x + 470$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $30 x + 470$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ 。

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [30 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

解题步骤 3.2.3

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $470$ 对于 $x$ 是常数，所以 $470$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$30 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $30$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 30$

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