微积分学示例

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x (x^{3} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{3} - 1$ 。

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

解题步骤 8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.1

将 $x^{3} - 1$ 乘以 $1$ 。

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

解题步骤 8.2

将 $3 x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$3 (4 x^{3} - 1)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

解题步骤 9.2

合并项。

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解题步骤 9.2.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

解题步骤 9.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x^{3} - 3$

微积分学 示例

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