微积分学示例

$y = arcsec (\cos (2 x))$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec (\cos (2 x)))$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = arcsec (x)$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (2 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [arcsec (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.1.2

$arcsec (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\cos (2 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

组合 $\frac{1}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3.3

合并分数。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$ 。

$\frac{- 2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}} \cdot 1$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\cos^{2} (2 x) - 1}}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $\cos^{2} (2 x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 + \cos^{2} (2 x)}}$

解题步骤 3.4.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) + \cos^{2} (2 x)}}$

解题步骤 3.4.3

从 $\cos^{2} (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))}}$

解题步骤 3.4.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

解题步骤 3.4.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- (1 - \cos^{2} (2 x))}}$

解题步骤 3.4.6

使用勾股恒等式。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{- \sin^{2} (2 x)}}$

解题步骤 3.4.7

化简分母。

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解题步骤 3.4.7.1

将 $- 1$ 和 $\sin^{2} (2 x)$ 重新排序。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sqrt{\sin^{2} (2 x) \cdot - 1}}$

解题步骤 3.4.7.2

从根式下提出各项。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) (\sin (2 x) \sqrt{- 1})}$

解题步骤 3.4.7.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

解题步骤 3.4.8

约去 $\sin (2 x)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.8.1

约去公因数。

$- \frac{2 \sin (2 x)}{\cos (2 x) \sin (2 x) i}$

解题步骤 3.4.8.2

重写表达式。

$- \frac{2}{\cos (2 x) i}$

解题步骤 3.4.9

分离分数。

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

解题步骤 3.4.10

将 $\frac{1}{\cos (2 x)}$ 转换成 $\sec (2 x)$ 。

$- (\frac{2}{i} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.11

对 $\frac{2}{i}$ 的分子和分母乘以 $i$ 的共轭以使分母变为实数。

$- (\frac{2}{i} \cdot \frac{i}{i} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12

乘。

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解题步骤 3.4.12.1

合并。

$- (\frac{2 i}{i i} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12.2

化简分母。

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解题步骤 3.4.12.2.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\frac{2 i}{i^{1} i} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12.2.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\frac{2 i}{i^{1} i^{1}} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\frac{2 i}{i^{1 + 1}} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\frac{2 i}{i^{2}} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.12.2.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- (\frac{2 i}{- 1} \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.13

移动 $\frac{2 i}{- 1}$ 中分母的负号。

$- (- 1 \cdot (2 i) \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.14

将 $- 1 \cdot (2 i)$ 重写为 $- (2 i)$ 。

$- (- (2 i) \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- (- 2 i \sec (2 x))$

解题步骤 3.4.16

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 i \sec (2 x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 2 i \sec (2 x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 2 i \sec (2 x)$

微积分学 示例

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