微积分学示例

$\sqrt{x^{2} + 8 x + 6}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x^{2} + 8 x + 6}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x + 6}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \sqrt{x^{2} + 8 x + 6} d x$

解题步骤 4

配方。

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解题步骤 4.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = 8$

$c = 6$

解题步骤 4.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 4.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 4.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1

从 $2 \cdot 1$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

解题步骤 4.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 4.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 4.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 4.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 6 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 6 - \frac{64}{4 \cdot 1}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 6 - \frac{64}{4}$

解题步骤 4.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $4$ 。

$e = 6 - 1 \cdot 16$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e = 6 - 16$

解题步骤 4.4.2.2

从 $6$ 中减去 $16$ 。

$e = - 10$

解题步骤 4.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x + 4)}^{2} - 10$ 。

$\int \sqrt{{(x + 4)}^{2} - 10} d x$

解题步骤 5

使 $u = x + 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = x + 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sqrt{u^{2} - 10} d u$

解题步骤 6

使 $u = \sqrt{10} \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \sqrt{10} \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简 $\sqrt{{(\sqrt{10} \sec (t))}^{2} - 10}$ 。

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解题步骤 7.1.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1.1

对 $\sqrt{10} \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \sqrt{{\sqrt{10}}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 7.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \sqrt{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \sqrt{10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1.2.4.1

约去公因数。

$\int \sqrt{10^{\frac{2}{2}} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2.4.2

重写表达式。

$\int \sqrt{10^{1} \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.1.2.5

计算指数。

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.2

从 $10 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $10$ 。

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t)) - 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.3

从 $- 10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\int \sqrt{10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.4

从 $10 \sec^{2} (t) + 10 \cdot - 1$ 中分解出因数 $10$ 。

$\int \sqrt{10 (\sec^{2} (t) - 1)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \sqrt{10 \tan^{2} (t)} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.6

将 $10$ 和 $\tan^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) \cdot 10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.1.7

从根式下提出各项。

$\int \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

解题步骤 7.2.2

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

解题步骤 7.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

解题步骤 7.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (t) \sqrt{10} (\sqrt{10} \sec (t)) d t$

解题步骤 7.2.5

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}) \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.6

对 $\sqrt{10}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (t) ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}) \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{1 + 1} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (t) {\sqrt{10}}^{2} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9

将 ${\sqrt{10}}^{2}$ 重写为 $10$ 。

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解题步骤 7.2.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{10}$ 重写成 $10^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \tan^{2} (t) {(10^{\frac{1}{2}})}^{2} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.9.4.1

约去公因数。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{\frac{2}{2}} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9.4.2

重写表达式。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10^{1} \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.9.5

计算指数。

$\int \tan^{2} (t) \cdot 10 \sec (t) d t$

解题步骤 7.2.10

将 $10$ 移到 $\tan^{2} (t)$ 的左侧。

$\int 10 \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 8

由于 $10$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $10$ 移到积分外。

$10 \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

解题步骤 9

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 \int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 10

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$10 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 11

化简项。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$10 \int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

解题步骤 11.2

化简每一项。

$10 \int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$10 (\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 13

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$10 (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 14

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 15

从 $\sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 16

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (t)$ ， $d v = \sec^{2} (t)$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

解题步骤 17

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 18

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 20

化简表达式。

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解题步骤 20.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 20.2

将 $\tan^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 重新排序。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

解题步骤 21

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

解题步骤 22

通过相乘进行化简。

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解题步骤 22.1

将幂重写为乘积形式。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 22.2

运用分配律。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 22.3

将 $\sec (t)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

解题步骤 23

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 24

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 25

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

解题步骤 26

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

解题步骤 27

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

解题步骤 28

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

解题步骤 29

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 30

将单个积分拆分为多个积分。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 31

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 32

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

解题步骤 33

通过相乘进行化简。

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解题步骤 33.1

运用分配律。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 33.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

解题步骤 34

求解 $\int \sec^{3} (t) d t$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

解题步骤 35

将 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$10 (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

解题步骤 36

化简。

$10 \frac{- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) \cdot 2 + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 37

化简。

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解题步骤 37.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$10 \frac{- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 37.2

将 $- 2 \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 相加。

$10 \frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2} + C$

解题步骤 37.3

组合 $10$ 和 $\frac{\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)}{2}$ 。

$\frac{10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{2} + C$

解题步骤 37.4

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 37.4.1

从 $10 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2} + C$

解题步骤 37.4.2

约去公因数。

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解题步骤 37.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 (1)} + C$

解题步骤 37.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)))}{2 \cdot 1} + C$

解题步骤 37.4.2.3

重写表达式。

$\frac{5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))}{1} + C$

解题步骤 37.4.2.4

用 $5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |))$ 除以 $1$ 。

$5 (\sec (t) \tan (t) - \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

解题步骤 38

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 38.1

使用 $arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$5 (\sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{u}{\sqrt{10}})) |)) + C$

解题步骤 38.2

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 (\sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) + \tan (arcsec (\frac{x + 4}{\sqrt{10}})) |)) + C$

解题步骤 39

重新排序项。

$5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$

解题步骤 40

答案是函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 8 x + 6}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $5 (\sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) - \ln (| \sec (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) + \tan (arcsec (\frac{1}{\sqrt{10}} (x + 4))) |)) + C$

微积分学 示例

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