微积分学示例

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 3 x^{4} - 7$ 且 $g (x) = 5 x^{2} + 1$ 。

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.6.2

将 $10$ 移到 $3 x^{4} - 7$ 的左侧。

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x^{4} - 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ 。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.10

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

解题步骤 2.11

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

解题步骤 2.12.2

将 $12$ 移到 $5 x^{2} + 1$ 的左侧。

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.5

将 $10$ 乘以 $- 7$ 。

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.6

将 $5$ 乘以 $12$ 。

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.5.7.1

移动 $x^{3}$ 。

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.7.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

解题步骤 3.5.8

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

解题步骤 3.5.9

将 $30 x^{5}$ 和 $60 x^{5}$ 相加。

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

解题步骤 3.6

重新排序项。

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$

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