微积分学示例

$\int_{1}^{2} (x + 1) e^{- 2 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x + 1$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$(x + 1) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} - \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - - \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + 1 \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 4.2

将 $\int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$ 乘以 $1$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 2$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 2 \cdot 2$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = - 4$

解题步骤 6.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 4$

解题步骤 6.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{- 2}^{- 4} \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} \int_{- 2}^{- 4} e^{u} d u$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{1}^{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $(x + 1) (- \frac{e^{- 2 x}}{2})$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} e^{u}]_{- 2}^{- 4}$

解题步骤 12.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 4$ 处和在 $- 2$ 处的值。

$((2 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2})) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3

化简。

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解题步骤 12.3.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 (- \frac{e^{- 2 \cdot 2}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$3 (- \frac{e^{- 4}}{2}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 4}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{1}{2 e^{4}}) - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.4

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{1}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 e^{4}}$ 。

$\frac{- 3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - (1 + 1) (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 1 \cdot 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2 \cdot 1}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{e^{- 2}}{2}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{3}{2 e^{4}} - 2 (- \frac{1}{2 e^{2}}) - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.11

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.12

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 e^{2}}$ 。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.13.1

约去公因数。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{2}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.13.2

重写表达式。

$- \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{1}{e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 4}) - e^{- 2})$

解题步骤 12.3.14

要将 $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) \cdot \frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.15

组合 $- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})$ 和 $\frac{2 e^{4}}{2 e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} - \frac{3}{2 e^{4}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.16

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) (2 e^{4})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.18

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2}) e^{4}}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.19

组合 $e^{4}$ 和 $\frac{- 2}{4}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{e^{4} \cdot - 2}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.20

将 $- 2$ 移到 $e^{4}$ 的左侧。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- 2 \cdot e^{4}}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.21

约去 $- 2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.21.1

从 $- 2 e^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{4} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 12.3.21.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 (2)} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.21.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{2 (- e^{4})}{2 \cdot 2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.21.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 + \frac{- e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 12.3.22

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} (e^{- 4} - e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1.1

运用分配律。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{4}}{2} e^{- 4} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.2

乘以 $- \frac{e^{4}}{2} e^{- 4}$ 。

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解题步骤 13.1.1.2.1

组合 $e^{- 4}$ 和 $\frac{e^{4}}{2}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4} e^{4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.2.2

通过指数相加将 $e^{- 4}$ 乘以 $e^{4}$ 。

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解题步骤 13.1.1.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{- 4 + 4}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.2.2.2

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{e^{0}}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.2.3

化简 $e^{0}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} - \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.3

乘以 $- \frac{e^{4}}{2} (- e^{- 2})$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + 1 \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.3.2

将 $\frac{e^{4}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4}}{2} e^{- 2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.3.3

组合 $\frac{e^{4}}{2}$ 和 $e^{- 2}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4} e^{- 2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.3.4

通过指数相加将 $e^{4}$ 乘以 $e^{- 2}$ 。

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解题步骤 13.1.1.3.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{4 - 2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.3.4.2

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.4

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.5

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 13.1.1.7.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 6 - 1}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.7.2

从 $- 6$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7}{2} + \frac{e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{\frac{- 7 + e^{2}}{2}}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$

解题步骤 13.1.3

乘以 $\frac{- 7 + e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{4}}$ 。

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解题步骤 13.1.3.1

将 $\frac{- 7 + e^{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 e^{4}}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{2 (2 e^{4})}$

解题步骤 13.1.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.2

要将 $\frac{1}{e^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ 。

$\frac{1}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{2}}{4 e^{2}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4 e^{4}$ 的形式。

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解题步骤 13.3.1

将 $\frac{1}{e^{2}}$ 乘以 $\frac{4 e^{2}}{4 e^{2}}$ 。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} (4 e^{2})} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.3.2

通过指数相加将 $e^{2}$ 乘以 $e^{2}$ 。

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解题步骤 13.3.2.1

移动 $e^{2}$ 。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2} e^{2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 e^{2}}{e^{2 + 2} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.3.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 e^{2}}{e^{4} \cdot 4} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.3.3

重新排序 $e^{4} \cdot 4$ 的因式。

$\frac{4 e^{2}}{4 e^{4}} + \frac{- 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.4

在公分母上合并分子。

$\frac{4 e^{2} - 7 + e^{2}}{4 e^{4}}$

解题步骤 13.5

将 $4 e^{2}$ 和 $e^{2}$ 相加。

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

解题步骤 14

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5 e^{2} - 7}{4 e^{4}}$

小数形式：

$0.13711673 \dots$

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例