微积分学示例

$\sqrt{3 x^{3}}$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $3 x^{3}$ 重写为 $x^{2} \cdot (3 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

因式分解出 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

解题步骤 1.1.2

将 $3$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

解题步骤 1.1.3

添加圆括号。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

解题步骤 7.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 8

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 10

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 11

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 13

化简分子。

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解题步骤 13.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

解题步骤 13.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 14

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 15

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

解题步骤 16

通过指数相加将 $3^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 16.1

移动 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16.2

将 $3$ 乘以 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16.4

在公分母上合并分子。

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 16.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

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