微积分学示例

$y = {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{5}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{5})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{5}$ 且 $g (x) = \frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

解题步骤 3.1.3

使用 $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}]$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 6 x^{3} - 6$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{(6 x^{3} - 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{(6 x^{3} - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 移到 $6 x^{3} - 6$ 的左侧。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 \cdot (6 x^{3} - 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 6]}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $6 x^{3} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.6

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.7

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2} + 0)}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8

化简表达式。

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解题步骤 3.3.8.1

将 $18 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - x^{2} (18 x^{2})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.3.8.2

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{2} x^{2}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 (x^{2} x^{2})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{2 + 2}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$5 {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4} \frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$

解题步骤 3.5

组合 $\frac{2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$ 和 $5$ 。

$\frac{(2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}) \cdot 5}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4}$

解题步骤 3.6

将 $5$ 移到 $2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4}$ 的左侧。

$\frac{5 \cdot (2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} {(\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6})}^{4}$

解题步骤 3.7

化简。

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解题步骤 3.7.1

对 $\frac{x^{2}}{6 x^{3} - 6}$ 运用乘积法则。

$\frac{5 (2 (6 x^{3} - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.2

运用分配律。

$\frac{5 ((2 (6 x^{3}) + 2 \cdot - 6) x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.3

运用分配律。

$\frac{5 (2 (6 x^{3}) x + 2 \cdot - 6 x - 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.4

运用分配律。

$\frac{5 (2 (6 x^{3}) x) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5

合并项。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{5 (12 x^{3} x) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{5 (12 (x^{1} x^{3})) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5 (12 x^{1 + 3}) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{5 (12 x^{4}) + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.5

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{4} + 5 (2 \cdot - 6 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.6

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{60 x^{4} + 5 (- 12 x) + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.7

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{4} - 60 x + 5 (- 18 x^{4})}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.8

将 $- 18$ 乘以 $5$ 。

$\frac{60 x^{4} - 60 x - 90 x^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.9

从 $60 x^{4}$ 中减去 $90 x^{4}$ 。

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2})}^{4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.10

将 ${(x^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.7.5.10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{2 \cdot 4}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.10.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}} \cdot \frac{x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.11

将 $\frac{- 30 x^{4} - 60 x}{{(6 x^{3} - 6)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{4}}$ 。

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2} {(6 x^{3} - 6)}^{4}}$

解题步骤 3.7.5.12

通过指数相加将 ${(6 x^{3} - 6)}^{2}$ 乘以 ${(6 x^{3} - 6)}^{4}$ 。

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解题步骤 3.7.5.12.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{2 + 4}}$

解题步骤 3.7.5.12.2

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{(- 30 x^{4} - 60 x) x^{8}}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.6

重新排序项。

$\frac{x^{8} (- 30 x^{4} - 60 x)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.7.1

从 $- 30 x^{4} - 60 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

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解题步骤 3.7.7.1.1

从 $- 30 x^{4}$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3}) - 60 x)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7.1.2

从 $- 60 x$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3}) + 30 x (- 2))}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7.1.3

从 $30 x (- x^{3}) + 30 x (- 2)$ 中分解出因数 $30 x$ 。

$\frac{x^{8} (30 x (- x^{3} - 2))}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

$\frac{x^{8} \cdot 30 x (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7.2

合并指数。

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解题步骤 3.7.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{30 (x^{8} x^{1}) (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{30 x^{8 + 1} (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.7.2.3

将 $8$ 和 $1$ 相加。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x^{3} - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8

化简分母。

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解题步骤 3.7.8.1

从 $6 x^{3} - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.7.8.1.1

从 $6 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3}) - 6)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3}) + 6 (- 1))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.1.3

从 $6 (x^{3}) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3} - 1))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x^{3} - 1^{3}))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.4

化简。

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解题步骤 3.7.8.4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.4.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)))}^{6}}$

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x - 1) (x^{2} + x + 1))}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.5

对 $6 (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 (x - 1))}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.6

运用分配律。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x + 6 \cdot - 1)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.7

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{{(6 x - 6)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.8

使用二项式定理。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{({(6 x)}^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9

化简每一项。

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解题步骤 3.7.8.9.1

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(6^{6} x^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.2

对 $6$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6 {(6 x)}^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.3

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6 (6^{5} x^{5}) \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.4

通过指数相加将 $6$ 乘以 $6^{5}$ 。

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解题步骤 3.7.8.9.4.1

移动 $6^{5}$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5} \cdot 6 x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.4.2

将 $6^{5}$ 乘以 $6$ 。

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解题步骤 3.7.8.9.4.2.1

对 $6$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5} \cdot 6^{1} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{5 + 1} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.4.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 6^{6} x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.5

对 $6$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} + 46656 x^{5} \cdot - 6 + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.6

将 $- 6$ 乘以 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 {(6 x)}^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.7

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 (6^{4} x^{4}) {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.8

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 15 (1296 x^{4}) {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.9

将 $1296$ 乘以 $15$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 19440 x^{4} {(- 6)}^{2} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.10

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 19440 x^{4} \cdot 36 + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.11

将 $36$ 乘以 $19440$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 {(6 x)}^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.12

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 (6^{3} x^{3}) {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.13

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 20 (216 x^{3}) {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.14

将 $216$ 乘以 $20$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 4320 x^{3} {(- 6)}^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.15

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} + 4320 x^{3} \cdot - 216 + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.16

将 $- 216$ 乘以 $4320$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 {(6 x)}^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.17

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 (6^{2} x^{2}) {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.18

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 15 (36 x^{2}) {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.19

将 $36$ 乘以 $15$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 540 x^{2} {(- 6)}^{4} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.20

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 540 x^{2} \cdot 1296 + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.21

将 $1296$ 乘以 $540$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 6 (6 x) {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.22

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 36 x {(- 6)}^{5} + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.23

对 $- 6$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} + 36 x \cdot - 7776 + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.24

将 $- 7776$ 乘以 $36$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + {(- 6)}^{6}) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.9.25

对 $- 6$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10

从 $46656 x^{6} - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656$ 中分解出因数 $46656$ 。

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解题步骤 3.7.8.10.1

从 $46656 x^{6}$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) - 279936 x^{5} + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.2

从 $- 279936 x^{5}$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 699840 x^{4} - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.3

从 $699840 x^{4}$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) - 933120 x^{3} + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.4

从 $- 933120 x^{3}$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 699840 x^{2} - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.5

从 $699840 x^{2}$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) - 279936 x + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.6

从 $- 279936 x$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.7

从 $46656$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.8

从 $46656 (x^{6}) + 46656 (- 6 x^{5})$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.9

从 $46656 (x^{6} - 6 x^{5}) + 46656 (15 x^{4})$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.10

从 $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4}) + 46656 (- 20 x^{3})$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.11

从 $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3}) + 46656 (15 x^{2})$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2}) + 46656 (- 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.12

从 $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2}) + 46656 (- 6 x)$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{(46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x) + 46656 (1)) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.10.13

从 $46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x) + 46656 (1)$ 中分解出因数 $46656$ 。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{46656 (x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1) {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.8.11

使用二项式定理来对 $x^{6} - 6 x^{5} + 15 x^{4} - 20 x^{3} + 15 x^{2} - 6 x + 1$ 进行因式分解。

$\frac{30 x^{9} (- x^{3} - 2)}{46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.9

约去 $30$ 和 $46656$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.9.1

从 $30 x^{9} (- x^{3} - 2)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.9.2

约去公因数。

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解题步骤 3.7.9.2.1

从 $46656 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{6 (7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6})}$

解题步骤 3.7.9.2.2

约去公因数。

$\frac{6 (5 x^{9} (- x^{3} - 2))}{6 (7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6})}$

解题步骤 3.7.9.2.3

重写表达式。

$\frac{5 x^{9} (- x^{3} - 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.10

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3}) - 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.11

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3}) - 1 (2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.12

从 $- (x^{3}) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{5 x^{9} (- (x^{3} + 2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.13

将 $- (x^{3} + 2)$ 重写为 $- 1 (x^{3} + 2)$ 。

$\frac{5 x^{9} (- 1 (x^{3} + 2))}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.14

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(5 x^{9}) (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.7.15

将 $- \frac{(5 x^{9}) (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 x^{9} (x^{3} + 2)}{7776 {(1 - x)}^{6} {(x^{2} + x + 1)}^{6}}$

微积分学 示例

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